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EPR的故事– 6. Bell出场1964 年，J.S.Bell 在Physics I 上发表了一篇论文，指出任何企图保持 Einstein定域性原则的隐变量理论都将不能和量子力学相容．这是着名……
1964 年，J.S.Bell 在Physics I 上发表了一篇论文，指出任何企图保持 Einstein定域性原则的隐变量理论都将不能和量子力学相容．这是着名的 Bell 定理．
Bell 利用Bohm 的单态粒子对实验推导了一个不等式，说明 了定域性隐变量理论的相关性(correlation)和量子力学是不同的．
假设如同前面Bohm 的实验装置，A, B 侦测器可以被安排成测量a, b, c 三个不同方向的自旋分量．a, b, c 三个方向是任意的，不需要互相垂直， 甚至可以在同一个平面上．
如果，粒子从发射器出发之时已带有某种「密码」(这是定域性隐变量理论所 预期的)，如(a+,b+,c-), 代表了粒子进入a 方向的侦测器结果将是正的，b 方向结果也是正，而c 方向结果为负．
由于两个粒子自旋方向相反，这样的组 合共有八种，如下所示： 粒子1 粒子2 N1 (a+,b+,c+) (a-,b-,c-) N2 (a+,b+,c-) (a-,b-,c+) N3 (a+,b-,c+) (a-,b+,c-) N4 (a-,b+,c+) (a+,b-,c-) N5 (a+,b-,c-) (a-,b+,c+) N6 (a-.b+.c-) (a+,b-,c+) N7 (a-,b-,c+) (a+,b+,c-) N8 (a-,b-,c-) (a+,b+,c+) 重复这样的实验N 次，设各种情况出现次数分别是N1, N2,… N8. 自然的， N1+N2+……+N8 = N. 令P(a+,b+) 表示A 侦测器在a 方向测得结果为正，B 侦测器在b 方向测得结 果为正的机率．而P(b+,c-) 表示A 侦测器在b 方向测得正，B 侦测器在c 方向 测得负的机率，等等．
例如，P(a+,b+) = (N3+N5)/N, P(b+,c-) = (N1+N4)/N． 现定义a, b 方向的相关程度系数E(a,b) 为 E(a,b) = P(a+,b+) + P(a-,b-) – P(a+,b-) – P(a-,b+) 注意到E(a,b) = E(b,a)．它代表了A, B 侦测器在a, b 两方向测量结果的相关程 度．
例如，在a=b 时，P(a+,b+) = P(a-,b-) = 0, 而P(a+,b-) = P(a-,b+) = 1/2, 因此 E(a,a) = -1. 这表示说若A, B 侦测器被安排成测同方向的自旋分量，所得结果 必定相反．又如，a=-b, E(a,-a) = 1, 即A, B 的结果必相同．如果a 和b 相互垂 直，则P(a+,b+) = P(a-,b-) = P(a+,b-) = P(a-,b+) = 1/4, 所以E(a,b) = 0.
这 是说如果两侦测器所测的方向互相垂直，则两者的结果没有任何相关．由此可见这个 定义符合我们对「相关」的直觉含义．
根据定义，我们有 E(a,b) = (N3+N5+N4+N6-N1-N2-N7-N8)/N 同理 E(a,c) = (N2+N5+N4+N7-N1-N3-N6-N8)/N E(c,b) = (N3+N7+N2+N6-N1-N4-N5-N8)/N 现在因为Ni (1≤i≤8) 都是大于等于零的整数，因此 2(N3+N6-N2-N7) ≤2(N3+N6+N2+N7) 两边加上N1+N4+N5+N8, 得 2(N3+N6-N2-N7)+N1+N4+N5+N8 ≤N3+N6+N2+N7+N 同除以N, 得 2(N3+N6-N2-N7)/N ≤(N3+N7+N2+N6-N1-N4-N5-N8)/N + 1 我们发现不等式右边即是E(c,b) + 1, 而左边是 E(a,b) – E(a,c) = 2(N3+N6-N2-N7)/N 同理， -E(c,b) – 1 ≤E(a,b) – E(a,c) 因此 E(a,b) – E(a,c) ≤1 + E(c,b) 这就是着名的Bell 不等式．
这对任意方向的a, b, c 而言都成立． 现在，让我们来看看Bell 不等式和量子力学的预测是否相符．我们要以量子 力学的方法去计算P(a+,b+), P(a+,c+) 以及P(c+,b+). 令S．a, S．b, S．c 的本徵 态分别是a+ ,a- , b+ ,b- 和c+ ,c- .
例如，要计算P(a+,b+), 我们假设粒子1 进入a 方向的侦测器得到结果为正(这机率显然是1/2). 因此，粒子2 必将处于 a- 的状态．在B 处我们测量粒子2 的b 方向自旋分量．按量子力学，我们 必须将a- 按b+ 和b- 展开．
如果a, b 两方向的夹角是θab, 那么结果是 (up to a phase constant) a- = sin(Beta/2 )exp(-iAlpha/2)b+ – cos(Beta/2)exp(iAlpha/2)b- 所以，粒子进入b 方向侦测器得到结果是正的机率是 sin2(θab/2) 因此 P(a+,b+) = sin2(θab/2)/2 同样的 P(a-,b-) = sin2(θab/2)/2 以及 P(a+,b-) = P(a-,b+) = cos2(θab/2)/2 所以 E(a,b) = sin2(θab/2) – cos2(θab/2) = -cosθab = -a．b 同理 E(a,c) = -cosθac, E(c,b) = -cosθcb 根据Bell 不等式，我们得到 cosθac – cosθab ≤1 – cosθcb 对任意的a, b, c 皆成立．
然而，我们发现这是不可能的．例如，让a, b, c 在同一平 面上，而且b 就在a,c 的角平分线 θ π/2 时，显然是不可能的． J.F.Clauser 及M.A.Horne 等于1969 年改进并推广了Bell 不等式．他们的方案 是利用光子对的偏振(polarization)相关性．Clauser 等并提出了可行的实验，检 验Bell 不等式．
其它如E.P.Wigner, A.Shimony, H.P.Stapp 等人也都相继提出了 类似的不等式． 由于Bell 不等式完全基于Einstein 的定域性原理，孤单光量子因此Bell 定理提供了检验定 域性原理的一项利器．
如果实验结果证实Bell 不等式是对的，那么就违反了 量子力学的预测；相反的，如果实验结果违背了Bell 不等式，也就同时否定 了Bell 不等式的前提，Einstein 定域性原理．终于，这场论战又从哲学回到了 物理，等待实验来判定谁胜谁败．
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