EPR的故事_epr的技术基础有

2019年7月26日19:46:28EPR的故事_epr的技术基础有已关闭评论
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EPR的故事– 6. Bell出场1964 年,J.S.Bell 在Physics I 上发表了一篇论文,指出任何企图保持 Einstein定域性原则的隐变量理论都将不能和量子力学相容.这是着名……

1964 年,J.S.Bell 在Physics I 上发表了一篇论文,指出任何企图保持 Einstein定域性原则的隐变量理论都将不能和量子力学相容.这是着名的 Bell 定理.

Bell 利用Bohm 的单态粒子对实验推导了一个不等式,说明 了定域性隐变量理论的相关性(correlation)和量子力学是不同的.

假设如同前面Bohm 的实验装置,A, B 侦测器可以被安排成测量a, b, c 三个不同方向的自旋分量.a, b, c 三个方向是任意的,不需要互相垂直, 甚至可以在同一个平面上.

如果,粒子从发射器出发之时已带有某种「密码」(这是定域性隐变量理论所 预期的),如(a+,b+,c-), 代表了粒子进入a 方向的侦测器结果将是正的,b 方向结果也是正,而c 方向结果为负.

由于两个粒子自旋方向相反,这样的组 合共有八种,如下所示: 粒子1 粒子2 N1 (a+,b+,c+) (a-,b-,c-) N2 (a+,b+,c-) (a-,b-,c+) N3 (a+,b-,c+) (a-,b+,c-) N4 (a-,b+,c+) (a+,b-,c-) N5 (a+,b-,c-) (a-,b+,c+) N6 (a-.b+.c-) (a+,b-,c+) N7 (a-,b-,c+) (a+,b+,c-) N8 (a-,b-,c-) (a+,b+,c+) 重复这样的实验N 次,设各种情况出现次数分别是N1, N2,... N8. 自然的, N1+N2+......+N8 = N. 令P(a+,b+) 表示A 侦测器在a 方向测得结果为正,B 侦测器在b 方向测得结 果为正的机率.而P(b+,c-) 表示A 侦测器在b 方向测得正,B 侦测器在c 方向 测得负的机率,等等.

例如,P(a+,b+) = (N3+N5)/N, P(b+,c-) = (N1+N4)/N. 现定义a, b 方向的相关程度系数E(a,b) 为 E(a,b) = P(a+,b+) + P(a-,b-) - P(a+,b-) - P(a-,b+) 注意到E(a,b) = E(b,a).它代表了A, B 侦测器在a, b 两方向测量结果的相关程 度.

例如,在a=b 时,P(a+,b+) = P(a-,b-) = 0, 而P(a+,b-) = P(a-,b+) = 1/2, 因此 E(a,a) = -1. 这表示说若A, B 侦测器被安排成测同方向的自旋分量,所得结果 必定相反.又如,a=-b, E(a,-a) = 1, 即A, B 的结果必相同.如果a 和b 相互垂 直,则P(a+,b+) = P(a-,b-) = P(a+,b-) = P(a-,b+) = 1/4, 所以E(a,b) = 0.

这 是说如果两侦测器所测的方向互相垂直,则两者的结果没有任何相关.由此可见这个 定义符合我们对「相关」的直觉含义.

根据定义,我们有 E(a,b) = (N3+N5+N4+N6-N1-N2-N7-N8)/N 同理 E(a,c) = (N2+N5+N4+N7-N1-N3-N6-N8)/N E(c,b) = (N3+N7+N2+N6-N1-N4-N5-N8)/N 现在因为Ni (1≤i≤8) 都是大于等于零的整数,因此 2(N3+N6-N2-N7) ≤2(N3+N6+N2+N7) 两边加上N1+N4+N5+N8, 得 2(N3+N6-N2-N7)+N1+N4+N5+N8 ≤N3+N6+N2+N7+N 同除以N, 得 2(N3+N6-N2-N7)/N ≤(N3+N7+N2+N6-N1-N4-N5-N8)/N + 1 我们发现不等式右边即是E(c,b) + 1, 而左边是 E(a,b) - E(a,c) = 2(N3+N6-N2-N7)/N 同理, -E(c,b) - 1 ≤E(a,b) - E(a,c) 因此 E(a,b) - E(a,c) ≤1 + E(c,b) 这就是着名的Bell 不等式.

这对任意方向的a, b, c 而言都成立. 现在,让我们来看看Bell 不等式和量子力学的预测是否相符.我们要以量子 力学的方法去计算P(a+,b+), P(a+,c+) 以及P(c+,b+). 令S.a, S.b, S.c 的本徵 态分别是a+ ,a- , b+ ,b- 和c+ ,c- .

例如,要计算P(a+,b+), 我们假设粒子1 进入a 方向的侦测器得到结果为正(这机率显然是1/2). 因此,粒子2 必将处于 a- 的状态.在B 处我们测量粒子2 的b 方向自旋分量.按量子力学,我们 必须将a- 按b+ 和b- 展开.

如果a, b 两方向的夹角是θab, 那么结果是 (up to a phase constant) a- = sin(Beta/2 )exp(-iAlpha/2)b+ - cos(Beta/2)exp(iAlpha/2)b- 所以,粒子进入b 方向侦测器得到结果是正的机率是 sin2(θab/2) 因此 P(a+,b+) = sin2(θab/2)/2 同样的 P(a-,b-) = sin2(θab/2)/2 以及 P(a+,b-) = P(a-,b+) = cos2(θab/2)/2 所以 E(a,b) = sin2(θab/2) - cos2(θab/2) = -cosθab = -a.b 同理 E(a,c) = -cosθac, E(c,b) = -cosθcb 根据Bell 不等式,我们得到 cosθac - cosθab ≤1 - cosθcb 对任意的a, b, c 皆成立.

然而,我们发现这是不可能的.例如,让a, b, c 在同一平 面上,而且b 就在a,c 的角平分线 θ π/2 时,显然是不可能的. J.F.Clauser 及M.A.Horne 等于1969 年改进并推广了Bell 不等式.他们的方案 是利用光子对的偏振(polarization)相关性.Clauser 等并提出了可行的实验,检 验Bell 不等式.

其它如E.P.Wigner, A.Shimony, H.P.Stapp 等人也都相继提出了 类似的不等式. 由于Bell 不等式完全基于Einstein 的定域性原理,孤单光量子因此Bell 定理提供了检验定 域性原理的一项利器.

如果实验结果证实Bell 不等式是对的,那么就违反了 量子力学的预测;相反的,如果实验结果违背了Bell 不等式,也就同时否定 了Bell 不等式的前提,Einstein 定域性原理.终于,这场论战又从哲学回到了 物理,等待实验来判定谁胜谁败.